1/ FEM là gì ?
Phương pháp bộ phận hữu hạn (FEM), là một trong phương thức số sấp xỉ nhằm giải những bài tân oán về kỹ thuật với thiết bị lí toán học tập.Các vấn đề được quan tâm bao hàm phân tích kếtcấu, truyền tải nhiệt, lưu lại chất, truyền kăn năn với năng lượng điện ráng.
Bạn đang đọc: Phương pháp phần tử hữu hạn
Phương thơm pháp giải tích mang đến bài toán thường đòi hỏi chiến thuật mang đến bài xích toán quý hiếm biên cho phương trình vi phân từng phần. Pmùi hương thức bộ phận hữu hạn tạo tác dụng bài toán vào một hệ phương thơm trình đại số. Phương thơm thức này chỉ dẫn các quý hiếm giao động của những ẩn tại một vài thành phần rời rốc trên miền xác minh.<1> Để giải bài xích tân oán, phân chia nhỏ tuổi nó thành nhiều miền nhỏ (phần tử), đơn giản hơn được Điện thoại tư vấn là các phần tử hữu hạn. Các phương thơm trình đơn giản dễ dàng mô hình hóa những phần tử hữu hạn này sau đó được tập thích hợp thành một hệ phương trình lớn hơn mô hình hóa toàn bộ sự việc.Sau kia, FEM thực hiện các phương pháp chuyển đổi tự phép tính các trở thành thể nhằm giải hệ phương trình này sẽ tìm được những cực hiếm của hàm dao động trên các điểm nút của từng phần tử, nhờ đó hàm xê dịch trọn vẹn được xác minh trên mỗi 1 phần tử.
Nghiên cứu giúp hoặc phân tích hiện tượng lạ cùng với FEM thường xuyên được Gọi là so với bộ phận hữu hạn (FEA).
1.1/ Lịch sử Ra đời cùng phát triển
Phương pháp bộ phận hữu hạn xuất phát điểm từ sự cần thiết cần xử lý các bài xích toán tinh vi về định hướng lũ hồi, so với kết cấu trong kiến thiết cùng kỹ thuật mặt hàng không. Nó được ban đầu và phát triển bởi vì A. Hrennikoff <4> và R. Courant <5> vào đầu trong thời hạn 1940. Một công ty đón đầu không giống là Ioannis Argyris. Tại Liên Xô, sự thành lập và hoạt động của áp dụng thực tế của phương pháp này thường được nói tới với tên của Leonard Oganesyan. <6> Tại Trung Quốc, vào những năm 1950 với đầu trong năm 1960, dựa vào tính toán thù những công trình xây dựng đập, K. Feng vẫn khuyến nghị một cách thức số tất cả khối hệ thống nhằm giải những pmùi hương trình vi phân từng phần. Pmùi hương pháp này được hotline là cách thức không nên phân hữu hạn dựa trên phương pháp biến đổi, kia là một sáng tạo độc lập khác của cách thức thành phần hữu hạn. Mặc cho dù các phương thức tiếp cận được áp dụng vày những người dân mũi nhọn tiên phong này là không giống nhau, chúng ta đều phải có tầm thường một quan điểm: chia lưới của một miền liên tục thành một tập hợp các tên miền nhỏ tách rộc rạc, thường được Điện thoại tư vấn là những bộ phận.
Hrennikoff rời rộc rạc hóa miền liên tiếp bằng phương pháp áp dụng lưới tương tự như, trong những khi Courant chia lưới tam giác mang lại biện pháp giải vật dụng hai của phương thơm trình vi phân từng phần (PDEs) nó được tạo ra từ bỏ bài xích tân oán xoắn của một hình tròn trụ. Đóng góp của Courant là là một bước tiến, từ tác dụng trước kia cho những PDE được phát triên do Rayleigh, Ritz và Galerkin.
Phương pháp thành phần hữu hạn chính thức cải cách và phát triển trong số những năm 1960 cùng 1970 vị sự mở rộng của JH Argyris với đồng nghiệp trên Đại học tập Stuttgart, RW Clough cùng với người cùng cơ quan trên UC Berkeley, OC Zienkiewicz với đồng nghiệp Ernest Hinton, Bruce Irons với những người dân không giống trên Đại học tập Swansea, Philippe G. Ciarlet tại Đại học Paris 6 và Richard Gallagher cùng với những người cùng cơ quan trên Đại học Cornell. đa phần sự phát minh sáng tạo bắt đầu đã có giới thiệu Một trong những năm này với sự gồm sẵn của các phần mềm mngơi nghỉ gồm gái trị. NASA tài trợ phiên bản nơi bắt đầu của NASTRAN, UC Berkeley xúc tiến Chương trình Phần tử hữu hạn SAPhường IV một giải pháp rộng thoải mái. Tại Na Uy, Det Norske Veritas (ni là DNV GL) đang trở nên tân tiến Sesam vào thời điểm năm 1969 để áp dụng trong so với tàu thủy. Một cơ sở toán thù học chặt chẽ đến phương thức bộ phận hữu hạn được cung ứng vào năm 1973 bằng câu hỏi xuất bản Strang và Fix. Pmùi hương pháp này đã làm được bao hàm hóa để mô hình hóa lượng to phương thức đồ dùng lý trong nhiều ngành kỹ thuật không giống nhau, ví như điện tự, truyền nhiệt và động lực học hóa học lỏng.
2/ Ứng dụng
Một loạt các chăm ngành thuộc nghành nghề kĩ thuật cơ khí (nlỗi ngành hàng hông, cơ khí, ô tô,..) hay sử dụng FEM tích vừa lòng vào xây đắp cùng cách tân và phát triển thành phầm. Một số phần mềm FEM tân tiến bao hàm những thành phần rõ ràng nhỏng môi trường thiên nhiên làm việc nhiệt, điện từ bỏ, hóa học lỏng cùng kết cấu. Trong một tế bào rộp cấu tạo, FEM giúp không ít trong câu hỏi tạo nên độ cứng với ứng suất với cũng giống như trong Việc bớt thiểu trọng lượng, vật tư và ngân sách.
FEM được cho phép hình dung cụ thể về các cấu tạo uốn nắn cong hoặc xoắn, chỉ ra rằng sự phân bổ ứng suất cùng gửi vị. Phần mượt FEM cung cấp hàng loạt các tùy lựa chọn mô phỏng để kiểm soát điều hành sự phức tạp của tất cả quy mô hóa và phân tích của một hệ thống. Tương từ, cường độ mong ước về độ đúng đắn quan trọng với những thử khám phá về thời hạn tính toán tương quan có thể được cai quản mặt khác nhằm giải quyết đa số các ứng dụng nghệ thuật. FEM chất nhận được toàn bộ những thi công được xây dựng, tinc chế với tối ưu hóa trước khi thi công được sản xuất.
FEM vẫn nâng cấp đáng chú ý những tiêu chuẩn chỉnh kiến thiết kĩ thuật cùng phương thức, quy trình xây đắp trong nhiều ứng dụng của công nghiệp. Làm sút đáng chú ý thời gian để lấy một thành phầm trường đoản cú có mang vào sản xuất. Tóm lại tác dụng khi sử dụng FEM tất cả độ chính xác cao, làm rõ các thông số xây cất đặc trưng, tạo mẫu ảo, không nhiều tốn Hartware, chu trình thi công nhanh khô hơn, ít tốn kém nhẹm rộng, tăng năng suất với lệch giá.
3/ Các có mang cơ bản
Chia bé dại số đông miền tiếp tục thành đều miền nhỏ rời rạc bao gồm một số ưu điểm:
Biểu diễn đúng đắn hình học phức tạpBao hàm các thuộc tính vật liệu rất khác nhauDễ dàng trình diễn phương án nỗ lực thểGhi lại bội phản ứng viên bộMột quá trình nổi bật trong cách thức này bao hàm phân loại miền của vấn đề thành một tập vừa lòng các thương hiệu miền phụ, với từng tên miền prúc được biểu diễn bởi một tập phù hợp những phương trình bộ phận cho bài bác toán thù gốc, tiếp đến (2) khối hệ thống phối kết hợp lại tất cả các phương thơm trình thành phần vào một hệ pmùi hương trình tuyến tính cho phép tính sau cùng. Hệ pmùi hương trình tuyến đường tính đã hiểu phương pháp giải, với có thể được xem toán tự các giá trị ban đầu của bài xích toán gốc để sở hữu được một câu trả lời bằng số.
Trong bước thứ nhất sinh sống bên trên, những pmùi hương trình thành phần là những phương trình dễ dàng và đơn giản mà lại giao động so với pmùi hương trình phức tạp ban đầu được nghiên cứu và phân tích, trong các số ấy những phương trình ban sơ thường xuyên là phương thơm trình vi phân từng phần (PDE). Để lý giải sự xấp xỉ kia, phương thức phần tử hữu hạn (FEM) thường được ra mắt nhỏng một ngôi trường thích hợp đặc biệt của cách thức Galerkin. Quá trình này trong ngôn ngữ toán học tập là nhằm chế tạo một tích phân của tích số bên trong của số dư với hàm trọng số với tùy chỉnh thiết lập tích phân bởi 0. Nói một cách dễ dàng, nó là 1 trong phương thức sút thiểu không nên số giao động bằng cách lắp những hàm nghiên cứu vào PDE. Phần còn lại là lỗi bởi những hàm thể nghiệm gây nên, với các hàm trọng số là các hàm giao động nhiều thức dự tính số dư. Quá trình đào thải tất cả những dẫn xuất không gian từ PDE, vì vậy giao động PDE toàn cục với:
Một tập thích hợp các pmùi hương trình đại số cho những sự việc tâm lý ổn địnhMột tập phù hợp những phương thơm trình vi phân thường thì cho các vụ việc duy nhất thờiCác phương trình này là các phương trình bộ phận. Chúng là đường tính giả dụ PDE cơ bản là tuyến đường tính cùng ngược lại. Các pmùi hương trình đại số tạo ra trong số bài xích toán tâm trạng ổn định được giải bởi phương pháp đại số con đường tính số, trong những lúc những phương trình vi phân thường tạo nên trong các vấn đề tạm thời được xử lý bởi tích phân số bởi những chuyên môn tiêu chuẩn chỉnh nhỏng cách thức Euler hoặc phương pháp Runge-Kutta.
Trong bước (2) ngơi nghỉ bên trên, một hệ phương thơm trình tuyến tính được tạo nên trường đoản cú các phương trình thành phần trải qua vấn đề biến đổi các tọa độ tự những nút toàn cục của các tên miền prúc sang những nút cục bộ của miền. Sự biến đổi không gian này bao gồm những điều chỉnh kim chỉ nan phù hợp nhỏng được vận dụng tương quan cho hệ tọa độ tyêu thích chiếu. Quá trình này hay được tiến hành vì phần mềm FEM bằng cách sử dụng dữ liệu tọa độ được tạo thành từ bỏ các thương hiệu miền prúc.
FEM được hiểu rõ tuyệt nhất tự vận dụng thực tiễn của nó, được gọi là so sánh bộ phận hữu hạn (FEA). FEA được vận dụng trong nghệ thuật nhỏng là 1 trong những biện pháp tính tân oán để triển khai phân tích nghệ thuật. Nó bao gồm Việc thực hiện kỹ thuật sinh sản lưới nhằm phân loại một miền phức hợp thành những bộ phận bé dại, tương tự như vấn đề sử dụng chương trình ứng dụng được mã hóa bởi thuật tân oán FEM. Khi áp dụng FEA, vụ việc tinh vi hay là 1 trong những hệ vật dụng lý cùng với cửa hàng nhờ vào phương thơm trình chùm Euler-Bernoulli, phương trình sức nóng, hoặc pmùi hương trình Navier-Stokes biểu thị vào cả hai pmùi hương trình tích phân hoặc PDE, trong những khi phân chia bé dại phần tử của vấn đề phức hợp thay mặt cho các Quanh Vùng khác nhau trong khối hệ thống thiết bị lý.
FEM là lựa chọn giỏi để phân tích những bài tân oán trên những miền phức hợp (nhỏng ô tô, con đường ống dẫn dầu,…), lúc miền biến hóa (nhỏng trong một phản bội ứng tâm lý cùng với biên vậy đổi), Lúc độ đúng mực kì vọng biến đổi bên trên toàn thể miền hoặc lúc chiến thuật thiếu độ mịn. Mô bỏng FEA cung cấp một mối cung cấp tài nguim có giá trị Khi chúng thải trừ ngôi trường hợp chế tác và thử nghiệm những chủng loại demo cứng cho những tình huống độ chân thực cao không giống nhau. lấy ví dụ, trong một mô phỏng tai nạn ngoài ý muốn sống phía đằng trước hoàn toàn có thể tăng cường mức độ đúng chuẩn dự đoán trong số khu vực “quan liêu trọng” như phương diện trước của xe cùng bớt nó ở vùng sau của chính nó (vì vậy làm cho sút ngân sách của tế bào phỏng). Một ví dụ không giống là ứng dụng trong dự đoán khí hậu, chỗ đặc biệt quan trọng rộng để sở hữu những dự đoán đúng mực về vấn đề trở nên tân tiến các hiện tượng kỳ lạ phi tuyến đường cao (ví dụ như lốc xoáy nhiệt đới gió mùa vào khí quyển, hoặc xoáy trong đại dương) vậy bởi các khoanh vùng tương đối lặng tĩnh.
4/ Thảo luận khoa học
4.1/ Cấu trúc của các phương thức bộ phận hữu hạn
Pmùi hương pháp thành phần hữu hạn là phương thức số mang lại giải mã dao động của những bài bác toán thù trong toán học tập, Có nghĩa là hay được tuyên bố một biện pháp tất cả hệ thống nhằm nêu đúng mực chứng trạng của một trong những tinh vi vào thực tiễn của đồ lý.
Một cách thức phần tử hữu hạn được đặc thù bởi vì một công thức chuyển đổi, một sự tránh rạc hóa, hoặc nhiều thuật toán chiến thuật với những các bước hậu cách xử trí.
Ví dụ mang lại bí quyết thay đổi là cách thức Galerkin, phương thức Galerkin đứt quãng, phương pháp tất cả hổn hợp, …
Sự tránh rốc hóa được tư tưởng bao gồm một tập phù hợp các bước được khẳng định ví dụ gồm:
Tạo ra các phần tử hữu hạnĐịnh nghĩa hàm đại lý trên những phần tử ttê mê chiếu (hàm hình dạng)Ánh xạ tmê mẩn chiếu các bộ phận lên lướilấy ví dụ về việc tránh rộc hóa là h-version, p-version, hp-version, x-FEM, đối chiếu đẳng hình học tập,…Mỗi cách thức tránh rốc hóa đều sở hữu một số trong những thuận lợi cùng bất lợi. Tiêu chuẩn chỉnh phù hợp trong câu hỏi chọn lựa phương pháp tách rạc hóa là để dành được công suất buổi tối ưu mang lại tập thích hợp rộng lớn duy nhất của những quy mô trong một mô hình ví dụ.
Có nhì một số loại thuật toán thù chiến thuật rộng:
Giải quyết trực tiếpLặp đi lặp lạiCác thuật tân oán này có phong cách thiết kế nhằm khai quật ma trận thưa phụ thuộc vào vào sự lựa chọn của công thức biến đổi với sự tách rộc rạc hóa.
Thủ tục sau xử ký kết được thiết kế theo phong cách nhằm trích xuất tài liệu cần thiết trường đoản cú chiến thuật thành phần hữu hạn, Để đáp ứng nhu cầu thử khám phá của vấn đề xác minc sự chính xác của phương án, những công ty cách xử trí rất cần được hỗ trợ một ước lỗi chuẩn về mặt vụ việc đang rất được quyên tâm. khi những lỗi giao động lớn hơn đầy đủ gì được coi là gật đầu được thì câu hỏi lọc yêu cầu được chuyển đổi bởi các bước phù hợp nghi tự động hóa hoặc theo ý của nhà phân tích. Có một số trong những bộ xử lý khôn cùng công dụng cung cấp đến phương pháp khôn xiết hội tụ.
4.2/ Các sự việc minh họa P1 và P2
Minc họa bài toán thực hiện PPPTHH từ bỏ nhì ví dụ mà lại phương thức bình thường rất có thể là nước ngoài suy. Xem như tín đồ hiểu đang không còn xa lạ cùng với đại số đường tính:
P1 là bài toán một chiều
Sử dụng bài tân oán một chiều, trên phía trên, hàm f được xác minh vì u và u một hàm ẩn của x, u’’ là đạo hàm cấp cho 2 của u theo x
P2 là bài xích toán thù nhị chiều
Miền Ω là một trong những miền đơn liên mlàm việc trong khía cạnh phẳng (x,y), tất cả biên ∂Ω rất “đẹp” (ví dụ: một nhiều tạp trơn tru hoặc một nhiều giác), displaystyle u_xxuxx và uyy displaystyle u_yy là đạo hàm riêng biệt cấp ba theo biến đổi x với y.
Ở ví dụ P1, rất có thể giải thẳng bằng phương pháp rước ngulặng hàm. Tuy nhiên, cách thức này chỉ triển khai được trong không khí một chiều cùng thiết yếu giải được vào không gian bao gồm hơn hai chiều hoặc vào bài toán u + u’’ = f. Chính bởi nguyên nhân này nhưng mà bọn họ đang cải tiến và phát triển phát triển FEM mang đến trường hợp P1 với demo tổng thể của FEM mang lại trường thích hợp P2.
Lời giải tất cả nhì bước, nó phản ảnh hai bước đa số đề xuất triển khai để giải một bài toán thù biên bởi FEM. Tại bước đầu tiên, bọn họ đã trình diễn lại bài bác toán thù biên vào dạng giao động của nó hoặc dạng vươn lên là phân. Rất ít hoặc không tồn tại laptop được dùng để làm tiến hành bước này, vấn đề này được thiết kế bằng tay nghỉ ngơi trên chứng từ. Bước máy nhì là tách rộc hóa, dạng khoảng được tránh rộc trong một không gian hữu hạn chiều. Sau bước trang bị hai này, họ sẽ sở hữu được biểu thức ví dụ mang đến toàn cục bài xích toán cơ mà giải thuật của bài toán vào không khí hữu hạn chiều con đường tính chỉ nên giải thuật khoảng của bài bác toán thù biên. Bài toán thù vào không gian hữu hạn chiều này kế tiếp được giải bằng máy vi tính.
4.3/ Công thức yếu
Cách thứ nhất là thay đổi P1 với P2 thành công xuất sắc thức yếu hèn tương đương của bọn chúng.
Công thức yếu đuối của P1Nếu u giải P1 thì đối với bất kỳ hàm trơn v như thế nào thỏa mãn điều kiện đưa vị, v=0 lúc x=0 cùng x=1, ta có:
Ngược lại, nếu u cùng với u(0)=u(1)=0 thì thỏa mãn (1) mang lại hàm trơn tru v(x) tiếp đến ta có thể thấy là u đang giải được P1. Thử dễ dãi rộng đối với nhị lần hàm khả vi u (định lí quý hiếm trung bình), cơ mà cũng rất có thể được chứng minh theo pmùi hương phân bổ.
Định nghĩa một hàm mới bằng phương pháp áp dụng tích phù hợp theo những phần sống bên tay đề nghị của (1):
Với v(0)=v(1)=0
Công thức yếu hèn của P2Nếu mang tích phân từng phần bằng bí quyết Green, ta có thể giải được P2 bằng u, ví như tư tưởng cho bất kỳ v
Trong đó, được có mang là gradient với “.” là dấu chấm vào phương diện phẳng hai chiều. Một lần nữa rất có thể trở lại làm cho tích số trên không gian tương thích của hàm vi phân một lần của bằng ko trên . Chúng ta trả định rằng . Biển diễn được sự trường thọ với tính duy nhất của phương án,
4.3/ Sự tránh rốc hóa
P1 và P2 đang sẵn sàng sẽ được cụ thể hóa, dẫn mang đến một bài toán phú thịnh hành (3). Ý tưởng cơ bản là sửa chữa thay thế bài toán tuyến đường tính:
Tìm sao cho
Với một phiên phiên bản hữu hạn chiều:
Tìm sao cho
trong những số đó V là 1 trong những không khí con hữu hạn chiều của . Có nhiều sự gạn lọc có thể mang đến V (một năng lực dẫn đến phương thức quang phổ). Tuy nhiên, so với phương thức bộ phận hữu hạn, họ rước V để là 1 không gian của các hàm nhiều thức từng phần.
Cho bài bác toán P1Lấy khoảng(0,1), lựa chọn quý giá n của x với: cùng tư tưởng V bằng: v thường xuyên, là tuyến đường tính, mang đến k=0,…n,a
Trong đó, ta có mang x0=0 với xn+1=1. QUan liền kề các hàm vào V không biệt lập theo quan niệm cơ bản của phép tính. Thật vậy, giả dụ thì đạo hàm không được khẳng định tại bất kỳ điểm làm sao bên cạnh x=xk, k=1,…n. Tuy nhiên, đạo hàm trường thọ ở đều quý hiếm không giống của x với rất có thể thực hiện đạo hàm này mang lại mục tiêu tích phân theo từng phần.
Cho bài bác tân oán P2Chúng ta yêu cầu V là một tập các hàm của . Trong hình mặt đề nghị, Shop chúng tôi sẽ minc họa một hình tam giác của một vùng đa giác 15 vào khía cạnh phẳng (mặt dưới), cùng một hàm con đường tính từng mẩu (bên trên, màu) của nhiều giác này là đường tính bên trên từng tam giác của phnghiền đạc tam giác; không gian V sẽ bao hàm những hàm con đường tính bên trên từng tam giác của phxay đạc tam giác đã lựa chọn.
Hy vọng rằng Lúc lưới tam giác bên dưới trsinh hoạt nên mịn hơn nữa thì lời giải của bài xích toán thù tránh rộc theo ý nghĩa nào nó đang xấp xỉ cùng với lời giải của bài xích toán thù cực hiếm biên thuở đầu P2.Để đo độ mịn của lưới này, phép đạc tam giác được lập chỉ mục vày một tđắm say số có mức giá trị thực với cái giá trị siêu nhỏ dại. Tmê say số này vẫn tương quan mang lại kích thước của tam giác lớn nhất hoặc trung bình trong tam giác. Lúc ta chỉnh phxay đạc tam giác , không khí của các hàm tuyến tính link V yêu cầu biến hóa theo h. Vì lí vì này, thường xuyên gọi Vh vậy vì chưng V vào tài liệu.
Xem thêm: Một Số Dàn Âm Thanh Công Suất Lớn Chất Lượng Giá Rẻ, Dàn Thiết Bị Âm Thanh Hội Trường Công Suất Lớn
Chọn một cơ sởĐể chấm dứt Việc tách rộc hóa, họ đề nghị chọn một cửa hàng của V. Trong trường hợp một chiều, cho mỗi điểm kiểm soát điều hành xk, Shop chúng tôi vẫn lựa chọn hàm tuyến tính từng phần vợ trong V của giá trị 1 tại xk và 0 tại những xj, j khác k
Cho k=1,…n; các đại lý này là một hàm tăng. Đối với trường hòa hợp hai phía, lựa chọn lại một hàm cơ sở bà xã trên mỗi đỉnh xk của tam giác hai phía . Hàm vk là hàm đơn giản của V có giá trị là 1 trong những tại xk và 0 trên từng xj,j khác k.
Tùy nằm trong vào người dùng, trường đoản cú “phần tử” trong “thủ tục phần tử hữu hạn” đề cùa đến các tam giác vào miền, hàm cơ bạn dạng tuyến tính từng phần hoặc cả hai. Vì vậy, ví dụ, một người dùng quan tâm cho các nghành phương diện cong rất có thể thay thế sửa chữa những hình tam giác bởi hình tròn trụ, với cho nên vì vậy rất có thể trình bày những nguyên tố như là curvilinear. Mặt không giống, một vài người sáng tác thay thế “tuyến tính từng phần ” bằng “bậc nhị từng phần” hoặc thậm chí “nhiều thức từng phần”. Người sử dụng kế tiếp nói theo cách khác “bộ phận bậc cao hơn” nuốm do “đa thức bậc cao”. Phương thơm thức phần tử hữu hạn không xẩy ra giới hạn vào tam giác (hoặc tđọng diện vào 3-d, hoặc đơn vị bậc cao hơn vào không khí nhiều chiều), nhưng mà có thể được quan niệm trên các tên miền phụ tứ giác (lục giác, lăng kính, hoặc kyên ổn từ bỏ tháp vào 3-d, vv). Các hình dáng bậc cao hơn nữa (các thành phần đường cong) có thể được xác minh bởi những hình đa thức với thậm chí không đa thức (ví như hình elip hoặc hình tròn).
Ví dụ về các cách thức áp dụng các hàm các đại lý đa thức bậc cao hơn nữa là hp-FEM với spectral FEM.
Các thực thi nâng cấp hơn (phương thức thành phần hữu hạn yêu thích nghi) sử dụng một phương thức nhằm Review quality của những công dụng (dựa trên kim chỉ nan ước tính lỗi) cùng sửa thay đổi lưới vào chiến thuật nhằm mục đích đã có được phương án ngay gần đúng trong các một vài giới hạn tự giải pháp ‘bao gồm xác’ vấn đề. Lưới say mê ứng hoàn toàn có thể áp dụng những nghệ thuật khác nhau, phổ biến nhất là:
Các nút ít vận động (r-adaptivity)Tinch chế (và không tinh chế) các phần tử (h-adaptivity)Thay đổi thứ tự của các hàm các đại lý (p-adaptivity)Sự phối kết hợp của những bản lĩnh bên trên (hp-adaptivity).Một vài cung ứng cơ sởƯu điểm chủ yếu của sự chọn lựa các đại lý này là những tích mặt trong
Sẽ bởi 0 với hầu hết j, k. Ma trận cất (vj,vk) vào (j,k) được điện thoại tư vấn là ma trận Gramian. Trong trường vừa lòng 1 chiều, vk được khẳng định trong tầm . Sau trên đây, hàm rước tích phân của (vj,vk) và (vj,vk) là giống hệt nhau lúc với gần như bởi 0.
Biểu chủng loại của bài bác toán ma trậnNếu ta viết với lúc ấy bài toán biết v(x)=vj(x) mang lại j=1,…,n biến hóa cho j=1,…,n. Nếu bọn họ màn trình diễn bởi u và f là các vector cột (u1,…un)t với (f1,…,fn)t với trường hợp ta mang lại L=(Lij) cùng M=(Mij) là ma trận bao gồm mục: với . Sau đó: -Lu=Mf. Nó ko đích thực quan trọng làm cho rằng . Đối với hàm tổng thể f(x) của bài xích toán với v(x)=vj(x) với j=1,…,n, trnghỉ ngơi đề nghị đơn giản và dễ dàng rộng do ko đề xuất thực hiện ma trận M: -Lu=b với b=(b1,…,bn)t và , j=1,…,n.
Nhỏng họ vẫn thảo luận trường đoản cú trước, đa số các mục của L và M là bằng 0 bởi hàm cửa hàng bà xã có vùng cung cấp nhỏ dại. Vì vậy hiện thời bọn họ cần giải một hê đường tính trong khi băn khoăn u số đông mục của ma trận L, ta cần nghịch hòn đảo sau đó đến bằng 0.
Các ma trận này được call là ma trận thưa, và tất cả các bí quyết giải kết quả cho các bài bác toán như thế (hiệu quả hơn nhiều so với nghịch đảo ma trận.) Bên cạnh đó, L là đối xứng cùng khẳng định dương, cho nên, một phương pháp nlỗi cách thức gradient liên hợp rất được quan tâm. Đối cùng với các bài bác tân oán không thật bự, LU decompositions cùng Cholesky decompositions vẫn hoạt động tốt. lấy ví dụ như, toán tử vệt gạch ốp chéo cánh ngược của MATLAB (trong số đó thực hiện LU decompositions cùng Cholesky decompositions, với những phương thức hệ số hóa khác) có thể đầy đủ cho những mắt lưới với một trăm ngàn đỉnh.
Ma trận L thường xuyên được Gọi là ma trận độ cứng, trong lúc ma trận M được điện thoại tư vấn là ma trận cân nặng.
Dạng bình thường của cách thức bộ phận hữu hạnNói tầm thường , phương thức bộ phận hữu hạn được đặc trưng bởi hai bước sau:
+ Chọn một dạng lưới mang lại . Lưới bao gồm hình tam giác, cơ mà cũng có thể thực hiện hình vuông hoặc đa giác cong.
+ Sau kia chọn 1 hàm dạng cơ bản. Trong cuộc thảo luận, chúng ta đã sử dụng hàm từng phần con đường tính cơ bản, dẫu vậy hàm cửa hàng đa thức cũng khá được áp dụng khôn cùng thịnh hành.
Một vấn đề không giống là sự mịn lúc phân chia lưới của hàm cửa hàng đa thức. Đối với bài toán thù về quý hiếm biên của eliptic bậc hai, hàm các đại lý đa thức chỉ 1-1 thuần là đáp ứng nhu cầu toàn vẹn (tức là các đạo hàm không liên tục).Với phương trình vi phân từng phần bậc nhì, cần phải thực hiện một hàm các đại lý mịn hơn. ví dụ như cho 1 bài bác toán thù khác ví như uxxxx+uyyyy=f, có thể áp dụng hàm cơ sở bậc nhị là C1.
5/ Các một số loại phương pháp thành phần hữu hạn
5.1/ AEM
Pmùi hương pháp phần tử ứng dụng(AEM) phối hợp những bản lĩnh của cả FEM và phướng pháp tránh rốc hóa phần tử(DEM).
5.2/ Pmùi hương pháp thành phần hữu hạn tổng quát
Pmùi hương pháp phần tử hữu hạn tổng quát(GFEM) áp dụng không khí quỹ tích bao gồm có của hàm số, ko quan trọng thực hiện nhiều thức, cho nên phản chiếu đọc tin bao gồm sẵn về phương án không biết do đó bảo đảm an toàn dao động toàn thể giỏi. Sau kia một bộ phận miền được áp dụng nhằm lien kết những không khí này với nhau sinh sản thành khoogn gian con sấp xỉ. Hiệu trái của GFEM đã làm được diễn tả lúc vận dụng cho những bài toán tất cả đường biên phức hợp, các bài xích toán thù với bài bản nhỏ cùng những bài tân oán với những lớp ranh mãnh giới.
5.3/ Phương thơm pháp phần tử hữu hạn hỗn hợp
Pmùi hương pháp thành phần hữu hạn các thành phần hỗn hợp là 1 trong loại phương thức phần tử hữu hạn trong số ấy những trở thành phú tự do được cung ứng bên dưới dạng các đổi mới nút ít trong quy trình giải bài tân oán của một pmùi hương trình vi phân từng phần.
5.4/ hp-FEM
Pmùi hương pháp hp-FEM kết hợp biến hóa năng động những thành phần với kích cỡ đổi thay số h với bậc của đa thức p nhằm có được vận tốc quy tụ theo cung cấp số mũ cực kì nkhô nóng.
5.5/ hpk-FEM
Pmùi hương pháp hpk-FEM kết hợp linh động, các phần tử có kích thước biến hóa số h, bậc nhiều thức của các xấp xỉ tổng thể p với tính đa dạng mẫu mã toàn bộ của các giao động tổng thể (k-1) nhằm đã có được vận tốc hội tụ xuất sắc nhất
5.6/ XFEM
Phương pháp thành phần hữu hạn không ngừng mở rộng (XFEM) là một bước tiến mới dựa vào phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát (GFEM) và hàm phân bố thống độc nhất (PUM). Nó mở rộng phương pháp thành phần hữu hạn cổ điển bằng cách làm cho rộng lớn không gian giải pháp cho những chiến thuật cho những phương trình vi phân cùng với các hàm ko liên tục. Các cách tiến hành bộ phận hữu hạn không ngừng mở rộng có tác dụng giàu không gian giao động nhằm nó rất có thể tái tạo ra một cách tự nhiên và thoải mái anh tài đầy thách thức liên quan mang lại vấn đề quan lại tâm: sự ngăn cách, kỳ cục, lớp biên, v.v. hào kiệt vào không gian gian giao động rất có thể cải thiện đáng chú ý vận tốc hội tụ cùng độ chính xác. ngoại giả, giải pháp xử lý những sự việc với việc cách quãng với XFEMs ngnạp năng lượng cản câu hỏi lưới với làm lại những mặt phẳng cách biệt, vì vậy có tác dụng sút ngân sách tính toán thù với những lỗi chiếu liên quan mang đến những phương pháp thành phần hữu hạn thường thì, cùng với chi phí tinh giảm sự ngăn cách đối với các cạnh lưới.
Một số phân tích triển khai chuyên môn này cùng với các cường độ không giống nhau: GetFEM++2, xfem++3 và open fem ++
XFEM cũng được triển khai trong những chương trình như Altair Radioss, ASTER, Morfeo và Abaqus. Nó càng ngày càng được gật đầu đồng ý vì các bộ phận bộ phận hữu hạn tmùi hương mại không giống, với cùng 1 vài bổ sung cập nhật cùng các tiến hành lõi thực tiễn tất cả sẵn (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE, vv).
5.7/ Phương thơm pháp phần tử hữu hạn tỷ lệ đường biên giới ( SBFEM )
ra đời vày Song với Wolf vào thời điểm năm 1997. Là một trong những góp sức có tác dụng to lớn vào nghành nghề phân tích số liệu của cơ học tập tiêu diệt. Nó là 1 trong những phương pháp tích phân cơ bản, bao gồm chiến thuật phối kết hợp các ưu thế của cả những cách làm với các bước thành phần hữu hạn, với sự tránh rạc hóa. Tuy nhiên nó ko yêu cầu giải mã vi phân cơ phiên bản.
5.8/ S-FEM
Phương pháp thành phần hữu hạn S-FEM, Smoothed, là một trong những lớp cụ thể của các thuật toán mô rộp số nhằm mô bỏng những hiện tượng lạ vật dụng lý. Nó được trở nên tân tiến bằng phương pháp phối hợp những phương thức phân chia lưới tự do thoải mái cùng với cách làm phần tử hữu hạn.
5.9/ Phương thơm pháp bộ phận quang phổ ( SEM )
Phương pháp bộ phận quang đãng phổ phối hợp tính linh hoạt hình học của các bộ phận hữu hạn với độ chính xác cấp tính của những phương thức phổ. Phương pháp quang quẻ phổ là giải pháp gần đúng của các pmùi hương trình từng phần yếu xuất hiện dựa trên nội suy bậc cao Lagragian và chỉ còn được áp dụng với những phép tắc bậc hai nhất quyết.
5.10/ Liên kết cùng với cách thức discretisation gradient
Một số nhiều loại cách thức thành phần hữu hạn (phù hợp, không phù hợp, những cách làm phần tử hữu hạn lếu hợp) là những trường hòa hợp ví dụ của cách thức giải pđợi gradient (GDM). Do kia các công năng quy tụ của GDM, được tùy chỉnh cho 1 loạt các sự việc (các vấn đề elliptic tuyến đường tính với phi tuyến đường tính, những sự việc parabolic tuyến tính, phi con đường với thoái hóa), giữ lại cho những phương pháp thành phần hữu hạn đặc trưng này.
5.11/ So sánh cùng với cách thức không nên phân hữu hạn:
Phương thơm pháp sai phân hữu hạn (FDM) là 1 trong những biện pháp sửa chữa thay thế dao động những chiến thuật của PDE. Sự khác hoàn toàn giữa FEM và FDM là:
+ Tính năng thu hút độc nhất vô nhị của FEM là kỹ năng giải pháp xử lý hình học tinh vi (cùng biên) một giải pháp dễ ợt. Trong lúc đó FDM căn bản chỉ áp dụng được trong số hình chữ nhật dễ dàng và đơn giản, câu hỏi cách xử trí các bài toán hình học vào FEM về khía cạnh lý thuyết là dễ dàng và đơn giản rộng.
+ FDM thường không được sử dụng cho hình học CAD ko tiếp tục tuy thế thường là các quy mô hình chữ nhật hoặc quy mô kăn năn.
+ FDM rất dễ dàng làm
+ cũng có thể xem FDM là một trong ngôi trường vừa lòng gần đúng của FEM. Những bước đầu tiên của FDM đồng nhất FEM với phương thơm trình Poisson, trường hợp bài tân oán rời rạc hóa bởi lưới hình chữ nhật cùng với từng hình chữ nhật phân thành hai tam giác.
+ Có nhiều nguyên do để để ý nền tảng toán học của phần tử hữu hạn xấp xỉ phù hợp nhiều hơn nữa, ví dụ, chính vì chất lượng của giao động giữa những điểm lưới là kém nhẹm vào FDM.
+ Chất lượng của một FEM xấp xỉ thường cao hơn so với FDM dao động tương xứng, mà lại điều này lại phụ thuộc vào số hạng đầu của bài xích toán cùng một số trong những ngôi trường hòa hợp cho tác dụng ngược trở lại.
Nói chung, FEM là cách thức được lựa chọn trong toàn bộ những các loại phân tích trong cơ học kết cấu (ví dụ xử lý biến dạng và ứng suất trong vật dụng rắn hoặc động lực học tập cấu trúc) trong những khi rượu cồn lực học tập chất lỏng (CFD) gồm Xu thế áp dụng FDM hoặc các phương pháp khác ví như phương thức khối lượng hữu hạn ( FVM). Các vụ việc CFD thường đòi hỏi đề nghị giải bài bác tân oán thành một vài lượng bự các ô / điểm lưới (hàng triệu lần trsống lên), cho nên chi phí của phương án ưu tiên đơn giản dễ dàng rộng, giao động bậc rẻ rộng trong mỗi ô. Điều này quan trọng đặc biệt đúng đối với các vấn đề ‘giữ lượng bên ngoài’, nlỗi luồng không gian bao bọc xe cộ khá hoặc thứ cất cánh, hoặc mô bỏng tiết trời.
