Gia sư Tiến Bộ chia sẻ những cách thường dùng để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.
Bạn đang đọc: Cách chứng minh bất đẳng thức
Không có cách chung để giải mọi bài toán bất đẳng thức. Do đó tùy từng bài mà chúng ta sử dụng phương pháp giải cho phù hợp.
1. Biến đổi tương đương
Từ BĐT đề yêu cầu chứng minh, ta biến đổi đến bất đẳng thức đúng, như vậy BĐT đã được chứng minh.
Bài 1: Chứng minh
Giải
Vậy để chứng minh BĐT(1) ta phải chứng minh BĐT (2)
Nếu VP= ac + bd 2.1. Sử dụng BĐT suy ra từ BĐT (a-b)2 0
Đây là một trong các phương pháp (PP) thường ra trong các đề thi tuyển sinh vào 10
Ví dụ:
a) Từ .
b) Với x > 1 ta có:
……(Người ra đề cứ lấy một BĐT bất kỳ , từ đó khai triển , kết hợp vài BĐT như vậy sẻ có bài toán của đề thi. Vì vậy người học khó chờ cơ hội trúng đề mà chỉ cần nắm chắc PP giải, biết lựa chọn BĐT xuất phát đúng ắt sẽ giải được bài). Ví dụ ta có các bài toán sau.
Bài 2: Cho 3 số
thỏa mãn .Chứng minh:
Giải:
.
Xem thêm: Kéo Dãn Hay Kéo Giãn ”? Đây Là Một “Co Dãn” Hay “Co Giãn”
Tương tự ta có:
Lấy (1) +(2)+(3) được:
Dấu “=” khi
Bài 3: Cho x 1; y 4 . Chứng minh rằng
Giải:
Ta có :
Ta có :
(1)(2)Cộng BĐT (1) với BĐT (2) theo vế được
Vậy
Dấu “=” khi
và 2.2. Dùng BĐT Cô-Si cho hai số không âmVới
không âm ta có: . Dấu “=” khi 2.2.1. Kỹ thuật 1:Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.
Chú ý:
*
*
Bài 4: Cho 0 Giải:
Xét
Khi đó:
⇔
Do
nên. Áp dụng BĐT Cô si có:Bài 5: Cho 0 Giải:
Xét
⇒
⇒
Dấu bằng
Giải được
;2.2.2 Kỹ thuật 2:Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không.
Chú ý: Dạng
, ta đi xét biểu thức sau đó dùng Cô SiBài 6: Với x ≥ 9. Chứng minh A=
Ta có:
Do x ≥ 9 nên x – 9 ≥0. Áp dụng BĐT Cô si ta có:
. Suy ra:2.2.3 Kỹ thuật dự đoán điểm rơiĐiểm rơi của BĐT là giá trị biến mà tại đó dấu “=” xảy ra
Bài 7: Cho là các số dương thỏa mãn
.Chứng minh rằng
Nhận xét: Bài toán cho vai trò như nhau , nên điểm rơi khi và ta dùng bất đẳng thức Cauchy cho từng số hạng .
– Nếu dùng cho và thì dấu bằng xảy ra khi (sai so với dự đoán) .
Điểm rơi Khi thì khi đó ⇒ ta phải áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1-x và 2x.
Giải: Ta có
. Tương tự cho các số hạng còn lại , rồi cộng các BĐT được:VT
2.3 Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpky dạng phân thức . (1) Dấu đẳng thức xảy ra khiTừ đây ta suy ra một bất đẳng thức rất thường sử dụng “Với x > 0, y > 0, ta có:
(2) Dấu “=” xảy ra khi x = y.Hai bất đẳng thức trên khi dùng phải chứng minh.(Dùng PP tương đương)
Bài 8: Cho các số thực dương x, y, z thỏa x + y + z = 4. Chứng minh rằng :